与えられた式 $\tan(\theta + 45^\circ) \tan(\theta - 45^\circ)$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\tan(\theta + 45^\circ) \tan(\theta - 45^\circ)$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(A+B)$と$\tan(A-B)$の加法定理を利用します。

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

これより、

$\tan(\theta + 45^\circ) = \frac{\tan \theta + \tan 45^\circ}{1 - \tan \theta \tan 45^\circ} = \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta}$

$\tan(\theta - 45^\circ) = \frac{\tan \theta - \tan 45^\circ}{1 + \tan \theta \tan 45^\circ} = \frac{\tan \theta - 1}{1 + \tan \theta}$

したがって、

$\tan(\theta + 45^\circ) \tan(\theta - 45^\circ) = \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta} \cdot \frac{\tan \theta - 1}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan \theta + 1}{1 - \tan \theta} \cdot \frac{- (1 - \tan \theta)}{1 + \tan \theta} = - \frac{\tan \theta + 1}{\tan \theta + 1} = \frac{\tan \theta - 1}{1 - \tan \theta}$

ただし、$\tan \theta \neq \pm 1$とします. $\tan \theta = x$とおくと、

$\tan(\theta + 45^\circ) \tan(\theta - 45^\circ) = \frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{x-1}{1+x} = \frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{-(1-x)}{1+x} = -1$

3. 最終的な答え

$-1$