与えられた関数 $y = -2x^2 + 9x + 17$ のグラフ上の点 $(6, -1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -2x^2 + 9x + 17$ のグラフ上の点 $(6, -1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* 与えられた関数を $x$ で微分して、導関数を求める。導関数は接線の傾きを表す。

$\frac{dy}{dx} = -4x + 9$

* 点 $(6, -1)$ における接線の傾きを求めるために、導関数に $x=6$ を代入する。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=6} = -4(6) + 9 = -24 + 9 = -15$

* 接線の傾き $m$ は $-15$ である。点 $(6, -1)$ を通り、傾き $-15$ の直線の方程式を求める。点傾斜形の方程式を使う。点傾斜形の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、ここで $(x_1, y_1)$ は与えられた点、 $m$ は傾きである。

$y - (-1) = -15(x - 6)$

$y + 1 = -15x + 90$

* 方程式を $y$ について解く。

$y = -15x + 90 - 1$

$y = -15x + 89$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -15x + 89$ である。