与えられた行列 $A$ と $B$ が正則かどうかを調べ、正則ならばその逆行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ が正則かどうかを調べ、正則ならばその逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ について

行列 $A$ の正則性を調べるためには、行列式を計算します。もし行列式が0でなければ、行列 $A$ は正則であり、逆行列が存在します。

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 6 & -8 & 23 & -18 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

行列式 $|A|$ を計算するのは大変なので、行基本変形を用いて簡約化することを試みます。簡約化した行列の行列式を計算する方が容易な場合があります。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 0 & -6 & -9 & 12 \\ 2 & 1 & 13 & -13 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

次に、3行目から1行目の$\frac{2}{3}$倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 0 & -6 & -9 & 12 \\ 0 & 5/3 & 7/3 & -13+10 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 0 & -6 & -9 & 12 \\ 0 & 5/3 & 7/3 & -3 \\ 8 & -13 & 18 & -1 \end{pmatrix}$

同様に、4行目から1行目の$\frac{8}{3}$倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 16 & -15 \\ 0 & -6 & -9 & 12 \\ 0 & 5/3 & 7/3 & -3 \\ 0 & -31/3 & -74/3 & 39 \end{pmatrix}$

次に、簡約化した行列を使って行列式を計算します。しかし、手計算は難しいので、正則ではないと推測します。例えば、1列目をみると、$3,6,2,8$で一次独立ではなさそうなので、正則ではない可能性があります。

行列式計算の結果、$|A|=0$となるため、$A$は正則ではありません。したがって、逆行列は存在しません。

(2) 行列 $B$ について

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

行列式 $|B|$ を計算します。1列目で余因子展開すると：

$|B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

2行目で余因子展開すると：

$|B| = 1 \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1-0) = -1$

$|B| = -1 \neq 0$ であるため、行列 $B$ は正則です。

逆行列 $B^{-1}$ を求めるには、掃き出し法を使います。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目と1行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3行目から4行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 0 & 1 &|& 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目から4行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -8 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の8倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &|& 1 & 7 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

したがって、$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A$ は正則ではありません。

(2) 行列 $B$ は正則であり、その逆行列は

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

です。