与えられた関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 関数の導関数を計算します。

$y = -6x^2 - 9x + 3$ を $x$ で微分すると、

$$\frac{dy}{dx} = -12x - 9$$

ステップ2: 点 $(-2, -3)$ における接線の傾きを計算します。

$x = -2$ を導関数に代入して、接線の傾き $m$ を求めます。

$$m = -12(-2) - 9 = 24 - 9 = 15$$

ステップ3: 接線の方程式を求めます。

点 $(-2, -3)$ を通り、傾きが $15$ の直線の方程式は、点傾斜形式で表されます。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ここで、$(x_1, y_1) = (-2, -3)$ であり、$m = 15$ なので、

$$y - (-3) = 15(x - (-2))$$

$$y + 3 = 15(x + 2)$$

$$y + 3 = 15x + 30$$

$$y = 15x + 27$$

3. 最終的な答え

点 $(-2, -3)$ における接線の方程式は $y = 15x + 27$ です。