関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1：接点の仮定

接点の座標を $(t, t^2 - 2)$ とおきます。

ステップ2：微分

関数 $y = x^2 - 2$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x$

となります。

ステップ3：接線の傾き

点 $(t, t^2 - 2)$ における接線の傾きは、$2t$ です。

ステップ4：接線の方程式

接点 $(t, t^2 - 2)$ における接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2) = 2t(x - t)$

と表されます。

ステップ5：点(2, -7)を通る条件

この接線が点 $(2, -7)$ を通るので、接線の方程式に $x = 2, y = -7$ を代入すると、

$-7 - (t^2 - 2) = 2t(2 - t)$

$-7 - t^2 + 2 = 4t - 2t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

ステップ6：tの値を求める

上記の二次方程式を解きます。

$(t - 5)(t + 1) = 0$

よって、$t = 5$ または $t = -1$。

ステップ7：接線の方程式を求める

$t = 5$ のとき、接点は $(5, 23)$ であり、傾きは $2(5) = 10$ なので、接線の方程式は

$y - 23 = 10(x - 5)$

$y = 10x - 50 + 23$

$y = 10x - 27$

$t = -1$ のとき、接点は $(-1, -1)$ であり、傾きは $2(-1) = -2$ なので、接線の方程式は

$y - (-1) = -2(x - (-1))$

$y + 1 = -2(x + 1)$

$y = -2x - 2 - 1$

$y = -2x - 3$

3. 最終的な答え

$y = 10x - 27$ と $y = -2x - 3$