関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2+t)$ とおきます。

次に、関数 $y = x^2 + x$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = 2x + 1$

$x = t$ における接線の傾きは $2t + 1$ となります。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

この接線が点 $(2, -3)$ を通るので、$x = 2$, $y = -3$ を代入します。

$-3 - (t^2 + t) = (2t + 1)(2 - t)$

$-3 - t^2 - t = 4t - 2t^2 + 2 - t$

$-3 - t^2 - t = -2t^2 + 3t + 2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5, -1$

$t = 5$ のとき、接点は $(5, 30)$ であり、傾きは $2(5) + 1 = 11$ なので、接線の方程式は $y - 30 = 11(x - 5)$、すなわち $y = 11x - 25$ となります。

$t = -1$ のとき、接点は $(-1, 0)$ であり、傾きは $2(-1) + 1 = -1$ なので、接線の方程式は $y - 0 = -1(x + 1)$、すなわち $y = -x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$ と $y = -x - 1$