関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

解析学微分接線二次関数
2025/3/27

1. 問題の内容

関数 y=x2+xy = x^2 + x のグラフに点 (2,3)(2, -3) から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を (t,t2+t)(t, t^2+t) とおきます。
次に、関数 y=x2+xy = x^2 + x を微分して、導関数を求めます。
y=2x+1y' = 2x + 1
x=tx = t における接線の傾きは 2t+12t + 1 となります。
したがって、接線の方程式は次のようになります。
y(t2+t)=(2t+1)(xt)y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)
この接線が点 (2,3)(2, -3) を通るので、x=2x = 2, y=3y = -3 を代入します。
3(t2+t)=(2t+1)(2t)-3 - (t^2 + t) = (2t + 1)(2 - t)
3t2t=4t2t2+2t-3 - t^2 - t = 4t - 2t^2 + 2 - t
3t2t=2t2+3t+2-3 - t^2 - t = -2t^2 + 3t + 2
t24t5=0t^2 - 4t - 5 = 0
(t5)(t+1)=0(t - 5)(t + 1) = 0
t=5,1t = 5, -1
t=5t = 5 のとき、接点は (5,30)(5, 30) であり、傾きは 2(5)+1=112(5) + 1 = 11 なので、接線の方程式は y30=11(x5)y - 30 = 11(x - 5)、すなわち y=11x25y = 11x - 25 となります。
t=1t = -1 のとき、接点は (1,0)(-1, 0) であり、傾きは 2(1)+1=12(-1) + 1 = -1 なので、接線の方程式は y0=1(x+1)y - 0 = -1(x + 1)、すなわち y=x1y = -x - 1 となります。

3. 最終的な答え

y=11x25y = 11x - 25y=x1y = -x - 1

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