(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin 2\theta$ の値を求める。 (2) $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin 3\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin 2\theta$ の値を求める。

(2) $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin 3\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{4}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{3}{4})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{9}{16}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{16}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{16} - 1 = \frac{9}{16} - \frac{16}{16} = -\frac{7}{16}$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ であるから、

$\sin 2\theta = -\frac{7}{16}$

(2) $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ の公式を利用する。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入する。

$\sin 3\theta = 3(\frac{1}{3}) - 4(\frac{1}{3})^3$

$\sin 3\theta = 1 - 4(\frac{1}{27})$

$\sin 3\theta = 1 - \frac{4}{27} = \frac{27}{27} - \frac{4}{27} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\theta = -\frac{7}{16}$

(2) $\sin 3\theta = \frac{23}{27}$