関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2+t)$ とします。

次に、$y = 2x^2 + x$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = 4x + 1$

したがって、点 $(t, 2t^2 + t)$ における接線の傾きは $4t + 1$ となります。

接線の方程式は、$y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$ と表せます。

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、この座標を代入します。

$-12 - (2t^2 + t) = (4t + 1)(-2 - t)$

$-12 - 2t^2 - t = -8t - 4 - 4t^2 - t$

$2t^2 + 8t - 8 = 0$

$t^2 + 4t - 4 = 0$

この2次方程式を解きます。

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}$

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}$

$t = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$t = -2 \pm 2\sqrt{2}$

tが2つ求まりましたので、それぞれの場合の接線の方程式を計算します。

(i) $t = -2 + 2\sqrt{2}$ のとき、傾きは $4(-2 + 2\sqrt{2}) + 1 = -8 + 8\sqrt{2} + 1 = -7 + 8\sqrt{2}$ となり、接点は $(-2 + 2\sqrt{2}, 2(-2 + 2\sqrt{2})^2 + (-2 + 2\sqrt{2}))$ です。

$2(-2 + 2\sqrt{2})^2 + (-2 + 2\sqrt{2}) = 2(4 - 8\sqrt{2} + 8) - 2 + 2\sqrt{2} = 2(12 - 8\sqrt{2}) - 2 + 2\sqrt{2} = 24 - 16\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} = 22 - 14\sqrt{2}$

接線の方程式は $y - (22 - 14\sqrt{2}) = (-7 + 8\sqrt{2})(x - (-2 + 2\sqrt{2}))$

$y - (22 - 14\sqrt{2}) = (-7 + 8\sqrt{2})(x + 2 - 2\sqrt{2})$

$y = (-7 + 8\sqrt{2})x + (-7 + 8\sqrt{2})(2 - 2\sqrt{2}) + 22 - 14\sqrt{2}$

$y = (-7 + 8\sqrt{2})x -14 + 14\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 32 + 22 - 14\sqrt{2}$

$y = (-7 + 8\sqrt{2})x - 24 + 16\sqrt{2}$

(ii) $t = -2 - 2\sqrt{2}$ のとき、傾きは $4(-2 - 2\sqrt{2}) + 1 = -8 - 8\sqrt{2} + 1 = -7 - 8\sqrt{2}$ となり、接点は $(-2 - 2\sqrt{2}, 2(-2 - 2\sqrt{2})^2 + (-2 - 2\sqrt{2}))$ です。

$2(-2 - 2\sqrt{2})^2 + (-2 - 2\sqrt{2}) = 2(4 + 8\sqrt{2} + 8) - 2 - 2\sqrt{2} = 2(12 + 8\sqrt{2}) - 2 - 2\sqrt{2} = 24 + 16\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} = 22 + 14\sqrt{2}$

接線の方程式は $y - (22 + 14\sqrt{2}) = (-7 - 8\sqrt{2})(x - (-2 - 2\sqrt{2}))$

$y - (22 + 14\sqrt{2}) = (-7 - 8\sqrt{2})(x + 2 + 2\sqrt{2})$

$y = (-7 - 8\sqrt{2})x + (-7 - 8\sqrt{2})(2 + 2\sqrt{2}) + 22 + 14\sqrt{2}$

$y = (-7 - 8\sqrt{2})x -14 - 14\sqrt{2} - 16\sqrt{2} - 32 + 22 + 14\sqrt{2}$

$y = (-7 - 8\sqrt{2})x - 24 - 16\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$y = (-7 + 8\sqrt{2})x - 24 + 16\sqrt{2}$

$y = (-7 - 8\sqrt{2})x - 24 - 16\sqrt{2}$