関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに、点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに、点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2 + t)$ とします。次に、$y = 2x^2 + x$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx} = 4x + 1$

したがって、点 $(t, 2t^2 + t)$ における接線の傾きは $4t + 1$ です。

接線の方程式は、次のようになります。

$y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、これを代入します。

$-12 - (2t^2 + t) = (4t + 1)(-2 - t)$

$-12 - 2t^2 - t = -8t - 4 - 4t^2 - t$

$2t^2 + 8t - 8 = 0$

$t^2 + 4t - 4 = 0$

この2次方程式を解の公式を使って解きます。

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2}$

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}$

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}$

$t = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$t = -2 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$t = -2 + 2\sqrt{2}$ または $t = -2 - 2\sqrt{2}$ です。

それぞれの$t$に対する接線の方程式を求めます。

接線の方程式は

$y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$

でした。これを整理すると

$y = (4t + 1)x - 4t^2 - t + 2t^2 + t$

$y = (4t + 1)x - 2t^2$

となります。

$t = -2 + 2\sqrt{2}$の時、

$4t + 1 = 4(-2 + 2\sqrt{2}) + 1 = -8 + 8\sqrt{2} + 1 = -7 + 8\sqrt{2}$

$2t^2 = 2(-2 + 2\sqrt{2})^2 = 2(4 - 8\sqrt{2} + 8) = 2(12 - 8\sqrt{2}) = 24 - 16\sqrt{2}$

$y = (-7 + 8\sqrt{2})x - 24 + 16\sqrt{2}$

$t = -2 - 2\sqrt{2}$の時、

$4t + 1 = 4(-2 - 2\sqrt{2}) + 1 = -8 - 8\sqrt{2} + 1 = -7 - 8\sqrt{2}$

$2t^2 = 2(-2 - 2\sqrt{2})^2 = 2(4 + 8\sqrt{2} + 8) = 2(12 + 8\sqrt{2}) = 24 + 16\sqrt{2}$

$y = (-7 - 8\sqrt{2})x - 24 - 16\sqrt{2}$

点 $(-2, -12)$ が放物線 $y=2x^2 + x$ 上にあるかどうか確認します。

$2(-2)^2 + (-2) = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 \neq -12$

したがって点 $(-2, -12)$ は放物線上にありません。

3. 最終的な答え

接線の方程式は

$y = (-7 + 8\sqrt{2})x - 24 + 16\sqrt{2}$

または

$y = (-7 - 8\sqrt{2})x - 24 - 16\sqrt{2}$