関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, 2a^2 + a)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, 2a^2 + a)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = 2x^2 + x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x + 1$

点 $(a, 2a^2 + a)$ における接線の傾きは、$x = a$ を代入して、

$m = 4a + 1$

となります。

次に、点 $(a, 2a^2 + a)$ を通り、傾きが $m = 4a + 1$ の直線の方程式を求めます。

点傾きの公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いると、接線の方程式は

$y - (2a^2 + a) = (4a + 1)(x - a)$

となります。

最後に、この式を整理して、一般形または傾き切片形の式に書き換えます。

$y - 2a^2 - a = (4a + 1)x - 4a^2 - a$

$y = (4a + 1)x - 4a^2 - a + 2a^2 + a$

$y = (4a + 1)x - 2a^2$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = (4a + 1)x - 2a^2$ です。