$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{8}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{8}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\sqrt{8}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

まず、$\sqrt{8}$ が有理数であると仮定する。

すると、$\sqrt{8}$ は互いに素な整数 $m, n$ を用いて、

$\sqrt{8} = \frac{m}{n}$

と表すことができる。

両辺を2乗すると、

$8 = \frac{m^2}{n^2}$

$8n^2 = m^2$

これは $m^2$ が 8 の倍数であることを意味する。したがって、$m$ も 8 の約数である2の倍数となる。

そこで、$m = 2k$（$k$ は整数）とおくと、

$8n^2 = (2k)^2$

$8n^2 = 4k^2$

$2n^2 = k^2$

これは $k^2$ が 2 の倍数であることを意味する。したがって、$k$ も 2 の倍数となる。

$8n^2 = (2k)^2$から、$8n^2$が4の倍数なので、$2n^2=k^2$より$k$も2の倍数であることがわかる。

$2n^2 = k^2$は、$n^2$が2の倍数なので、$n$も2の倍数であることがわかる。

したがって、$m$ と $n$ はともに 2 の倍数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。

よって、$\sqrt{8}$ は無理数である。

また、

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

ここで$\sqrt{2}$ が無理数であることは既知とする。

もし $\sqrt{8}$ が有理数であると仮定すると、ある有理数 $r$ に対して $\sqrt{8} = r$ と書ける。

すると、$2 \sqrt{2} = r$ となるから、$\sqrt{2} = \frac{r}{2}$ となる。

有理数 $r$ を 2 で割った $\frac{r}{2}$ もまた有理数であるから、$\sqrt{2}$ が有理数となってしまう。

これは、$\sqrt{2}$ が無理数であるという事実に矛盾する。

したがって、$\sqrt{8}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{8}$ は無理数である。