$\sin 67.5^\circ \times \cos 22.5^\circ$ の値を $\frac{(1) + \sqrt{(2)}}{(3)}$ の形で求めよ。

1. 問題の内容

$\sin 67.5^\circ \times \cos 22.5^\circ$ の値を $\frac{(1) + \sqrt{(2)}}{(3)}$ の形で求めよ。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} \{ \sin (A+B) + \sin (A-B) \}$

この公式に $A = 67.5^\circ$、 $B = 22.5^\circ$ を代入すると、

$\sin 67.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2} \{ \sin (67.5^\circ + 22.5^\circ) + \sin (67.5^\circ - 22.5^\circ) \}$

$\sin 67.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2} \{ \sin 90^\circ + \sin 45^\circ \}$

$\sin 67.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2} \{ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \}$

$\sin 67.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2} \{ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \}$

$\sin 67.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

よって、(1) = 2, (2) = 2, (3) = 4

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$