2組の連立方程式が与えられています。 $ \begin{cases} 6+2(x-y)=x \\ ax-by=-6 \end{cases} $ と $ \begin{cases} 3x-2y=2 \\ bx+2y=2 \end{cases} $ この2組の連立方程式が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求めます。

1. 問題の内容

2組の連立方程式が与えられています。

$$

\begin{cases}

6+2(x-y)=x \\

ax-by=-6

\end{cases}

$$

と

$$

\begin{cases}

3x-2y=2 \\

bx+2y=2

\end{cases}

$$

この2組の連立方程式が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2番目の連立方程式から$x$と$y$の値を求めます。

$$

\begin{cases}

3x-2y=2 \\

bx+2y=2

\end{cases}

$$

この連立方程式の解は、$x$と$y$が与えられた2組の連立方程式の解でもあるので、$a$と$b$の値を求めることができます。

まず、2番目の連立方程式を解きます。

$$

3x-2y=2

$$

$$

bx+2y=2

$$

これらの式を足し合わせると、$y$が消去されます。

$$

(3+b)x = 4

$$

$$

x = \frac{4}{3+b}

$$

$x$を$3x-2y=2$に代入します。

$$

3 \cdot \frac{4}{3+b} - 2y = 2

$$

$$

\frac{12}{3+b} - 2y = 2

$$

$$

2y = \frac{12}{3+b} - 2

$$

$$

2y = \frac{12 - 2(3+b)}{3+b}

$$

$$

2y = \frac{12 - 6 - 2b}{3+b}

$$

$$

2y = \frac{6 - 2b}{3+b}

$$

$$

y = \frac{3-b}{3+b}

$$

次に、最初の連立方程式の最初の式を解きます。

$$

6+2(x-y)=x

$$

$$

6 + 2x - 2y = x

$$

$$

x = 2y - 6

$$

$$

x = 2(\frac{3-b}{3+b}) - 6

$$

$$

x = \frac{6-2b}{3+b} - 6

$$

$$

x = \frac{6-2b - 6(3+b)}{3+b}

$$

$$

x = \frac{6-2b - 18 - 6b}{3+b}

$$

$$

x = \frac{-12 - 8b}{3+b}

$$

2つの表現から$x$を等しくします。

$$

\frac{4}{3+b} = \frac{-12 - 8b}{3+b}

$$

$$

4 = -12 - 8b

$$

$$

16 = -8b

$$

$$

b = -2

$$

これで$b$の値がわかったので、$x$と$y$の値を求めることができます。

$$

x = \frac{4}{3+b} = \frac{4}{3-2} = 4

$$

$$

y = \frac{3-b}{3+b} = \frac{3-(-2)}{3+(-2)} = \frac{5}{1} = 5

$$

$x=4$と$y=5$です。

最初の連立方程式の2番目の式は次のとおりです。

$$

ax-by=-6

$$

$x=4$と$y=5$を代入します。

$$

4a - 5b = -6

$$

$b=-2$を代入します。

$$

4a - 5(-2) = -6

$$

$$

4a + 10 = -6

$$

$$

4a = -16

$$

$$

a = -4

$$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -2$