ベクトル $\vec{a} = (1, -1)$ と $\vec{b} = (x, 2)$ が与えられています。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、 それぞれの場合について $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -1)$ と $\vec{b} = (x, 2)$ が与えられています。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、

それぞれの場合について $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $k$ が存在して $\vec{b} = k\vec{a}$ と表せます。

つまり、

$(x, 2) = k(1, -1) = (k, -k)$

したがって、$x = k$ かつ $2 = -k$ です。

$k = -2$ を $x = k$ に代入すると、$x = -2$ となります。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立ちます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(x) + (-1)(2) = x - 2$

したがって、$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行のとき、$x = -2$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直のとき、$x = 2$