関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求める。

2. 解き方の手順

1. 接線の傾きを求める：

直線 $y = 8x + 9$ に平行な直線の傾きは 8 である。

2. 導関数を求める：

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ の導関数を求める。導関数は接線の傾きを表す。

$y' = \frac{d}{dx} (5x^2 - 2x - 1) = 10x - 2$

3. 接点のx座標を求める：

導関数が接線の傾きに等しくなるようなx座標を求める。

$10x - 2 = 8$

$10x = 10$

$x = 1$

4. 接点のy座標を求める：

x座標が1であるときの元の関数の値を求める。

$y = 5(1)^2 - 2(1) - 1 = 5 - 2 - 1 = 2$

よって、接点は (1, 2)。

5. 接線の方程式を求める：

傾きが8で、点(1, 2)を通る直線の方程式を求める。

$y - 2 = 8(x - 1)$

$y - 2 = 8x - 8$

$y = 8x - 6$

3. 最終的な答え

$y = 8x - 6$