Aの袋には白玉6個、赤玉3個が入っており、Bの袋には白玉3個、赤玉6個が入っています。Aから2個の玉を同時に取り出したときの赤玉の個数を確率変数X、Bから1個の玉を取り出したときの赤玉の個数を確率変数Yとします。このとき、以下の値を求めます。 (1) $E(2X+Y)$ (2) $V(2X+Y)$ (3) $E(XY)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

Aの袋には白玉6個、赤玉3個が入っており、Bの袋には白玉3個、赤玉6個が入っています。Aから2個の玉を同時に取り出したときの赤玉の個数を確率変数X、Bから1個の玉を取り出したときの赤玉の個数を確率変数Yとします。このとき、以下の値を求めます。

(1) $E(2X+Y)$

(2) $V(2X+Y)$

(3) $E(XY)$

2. 解き方の手順

(1) $E(2X+Y)$を求める

まず、Xの確率分布を考えます。Aの袋から2個取り出すとき、赤玉の個数は0, 1, 2個のいずれかです。それぞれの確率を計算します。

* X=0 (赤玉0個): 白玉6個から2個選ぶ確率。

$P(X=0) = \frac{{}_6C_2}{{}_9C_2} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

* X=1 (赤玉1個): 白玉6個から1個、赤玉3個から1個選ぶ確率。

$P(X=1) = \frac{{}_6C_1 \times {}_3C_1}{{}_9C_2} = \frac{6 \times 3}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

* X=2 (赤玉2個): 赤玉3個から2個選ぶ確率。

$P(X=2) = \frac{{}_3C_2}{{}_9C_2} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

したがって、Xの期待値は

$E(X) = 0 \times \frac{5}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

次に、Yの確率分布を考えます。Bの袋から1個取り出すとき、赤玉の個数は0個または1個です。

* Y=0 (赤玉0個): 白玉3個から1個選ぶ確率。

$P(Y=0) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

* Y=1 (赤玉1個): 赤玉6個から1個選ぶ確率。

$P(Y=1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

したがって、Yの期待値は

$E(Y) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

期待値の線形性より

$E(2X+Y) = 2E(X) + E(Y) = 2 \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(2) $V(2X+Y)$を求める

XとYは独立なので、$V(aX+bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$が成り立ちます。

$V(2X+Y) = 4V(X) + V(Y)$

Xの分散を求める。

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{5}{12} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{4}{12} = \frac{6+4}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{5}{6} - (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{15-8}{18} = \frac{7}{18}$

Yの分散を求める。

$E(Y^2) = 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = \frac{2}{3} - (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{6-4}{9} = \frac{2}{9}$

したがって

$V(2X+Y) = 4V(X) + V(Y) = 4 \times \frac{7}{18} + \frac{2}{9} = \frac{14}{9} + \frac{2}{9} = \frac{16}{9}$

(3) $E(XY)$を求める

XとYは独立なので、$E(XY) = E(X)E(Y)$が成り立ちます。

したがって

$E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $E(2X+Y) = 2$

(2) $V(2X+Y) = \frac{16}{9}$

(3) $E(XY) = \frac{4}{9}$