与えられた多項式 $x^{14} - 2x^{13}$ を $x+1$ で割ったときの余りを $ax+b$ と表すことができるとき、$a$と$b$の値を求めます。式は以下の通りです。 $x^{14} - 2x^{13} = (x+1)Q(x) + ax + b$

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^{14} - 2x^{13}$ を $x+1$ で割ったときの余りを $ax+b$ と表すことができるとき、$a$と$b$の値を求めます。式は以下の通りです。

$x^{14} - 2x^{13} = (x+1)Q(x) + ax + b$

2. 解き方の手順

多項式の割り算における余りの定理を利用します。

$x+1=0$ となる $x$ の値、すなわち $x = -1$ を元の多項式に代入すると、余りを求めることができます。

$x=-1$ を $x^{14} - 2x^{13} = (x+1)Q(x) + ax + b$ に代入すると、

$(-1)^{14} - 2(-1)^{13} = (-1+1)Q(-1) + a(-1) + b$

$1 - 2(-1) = 0 \cdot Q(-1) - a + b$

$1 + 2 = -a + b$

$3 = -a + b$

したがって、

$-a + b = 3$ (1)

次に、$x^{14} - 2x^{13} = (x+1)Q(x) + ax + b$ の両辺を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^{14} - 2x^{13}) = \frac{d}{dx}((x+1)Q(x) + ax + b)$

$14x^{13} - 26x^{12} = Q(x) + (x+1)Q'(x) + a$

ここで、$x = -1$ を代入すると、

$14(-1)^{13} - 26(-1)^{12} = Q(-1) + (-1+1)Q'(-1) + a$

$-14 - 26 = Q(-1) + 0 \cdot Q'(-1) + a$

$-40 = Q(-1) + a$

ここで、$Q(-1)$ が何らかの値を持つ可能性があるため、$x=-1$のとき，$x^{14}-2x^{13} = (x+1)Q(x)+ax+b$を満たす必要があります。

微分した式は $14x^{13}-26x^{12} = Q(x) + (x+1)Q'(x)+a$ です。

$x = -1$を代入して、 $-40 = Q(-1) + a$

しかし、これは$a$を特定するのに十分ではありません。

もう一度、$x^{14} - 2x^{13} = (x+1)Q(x) + ax + b$ を考察します。

$x=-1$を代入して得られた式 $-a+b=3$ を (1) とします。

$b = a+3$

$x^{14} - 2x^{13} - ax - b = (x+1)Q(x)$

$x^{14} - 2x^{13} - ax - a - 3 = (x+1)Q(x)$

$Q(x) = \frac{x^{14}-2x^{13}-ax-a-3}{x+1}$

$Q(x)$が多項式として定義されるためには、$x = -1$のとき、分子が0でなければなりません。

$(-1)^{14} - 2(-1)^{13} - a(-1) - a - 3 = 0$

$1 + 2 + a - a - 3 = 0$

$0 = 0$

これでは$a$は定まらない。

ここで、$x=0$を代入すると

$0^{14}-2*0^{13} = (0+1)Q(0)+a*0+b$

$0 = Q(0)+b$

$b = -Q(0)$

問題が不明瞭であるため、再度与式より$x=-1$を代入したとき、$3=-a+b$

$x=0$を代入した場合、$0=Q(0)+b$ より $b = -Q(0)$

微分した式は $14x^{13} - 26x^{12} = Q(x) + (x+1)Q'(x) + a$

$x=0$を代入した場合、$0 = Q(0)+Q'(0) + a$

$a = -Q(0) - Q'(0)$

$a = b - Q'(0)$

$-a+b=3$に$a = b - Q'(0)$を代入すると

$-b+Q'(0)+b=3$

$Q'(0)=3$

したがって、$x^{14} - 2x^{13}$を$x+1$で割ると

$x^{14}-2x^{13} = (x+1)(x^{13}-3x^{12}+3x^{11}-3x^{10}+3x^{9}-3x^{8}+3x^{7}-3x^{6}+3x^{5}-3x^{4}+3x^{3}-3x^{2}+3x-3)+3$

$Q(x) = x^{13}-3x^{12}+3x^{11}-3x^{10}+3x^{9}-3x^{8}+3x^{7}-3x^{6}+3x^{5}-3x^{4}+3x^{3}-3x^{2}+3x-3$

$Q(0) = -3$

したがって、$b = -Q(0) = 3$

$-a+b=3$より、$-a+3=3$

$a=0$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = 3$