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$y = 4\sin\theta + 3\cos\theta$ の最大値と最小値を求める問題です。

解析学三角関数最大値最小値三角関数の合成
2025/3/27

1. 問題の内容

y=4sin⁡θ+3cos⁡θy = 4\sin\theta + 3\cos\theta の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。
y=4sin⁡θ+3cos⁡θy = 4\sin\theta + 3\cos\theta を Rsin⁡(θ+α)R\sin(\theta + \alpha) の形に合成します。
ここで、R=42+32R = \sqrt{4^2 + 3^2} であり、α\alpha は Rcos⁡α=4R\cos\alpha = 4 および Rsin⁡α=3R\sin\alpha = 3 を満たす角です。
R=16+9=25=5R = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
したがって、y=5sin⁡(θ+α)y = 5\sin(\theta + \alpha) となります。
sin⁡(θ+α)\sin(\theta + \alpha) の最大値は1、最小値は-1です。
よって、yy の最大値は 5×1=55 \times 1 = 5、最小値は 5×(−1)=−55 \times (-1) = -5 となります。

3. 最終的な答え

最大値：5
最小値：-5

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