$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$のとき、$y = -2\sin\theta - 2\cos\theta$の最大値と最小値を求め、それぞれのときの$\theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$のとき、$y = -2\sin\theta - 2\cos\theta$の最大値と最小値を求め、それぞれのときの$\theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = -2\sin\theta - 2\cos\theta$を三角関数の合成を用いて変形します。

$y = -2(\sin\theta + \cos\theta)$

$y = -2\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)$

$y = -2\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)$

$y = -2\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$

$y = -2\sqrt{2} \sin\left(\theta + 45^\circ\right)$

ここで、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$なので、$45^\circ \leq \theta + 45^\circ \leq 135^\circ$です。

$\sin(\theta + 45^\circ)$の最大値は$\theta + 45^\circ = 90^\circ$のときで、$\sin(90^\circ) = 1$です。

$\sin(\theta + 45^\circ)$の最小値は$\theta + 45^\circ = 135^\circ$のときで、$\sin(135^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$です。

ただし、今回の問題では、yの最大最小を求める必要があるので、

$\sin(\theta + 45^\circ)$が最小のとき、yは最大になり、$\theta+45^\circ=45^\circ$のとき、$\sin(\theta+45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$、yの最大値は $-2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = -2$となります。$\theta = 0^\circ$

$\sin(\theta + 45^\circ)$が最大のとき、yは最小になり、$\theta+45^\circ=90^\circ$のとき、$\sin(\theta+45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$、yの最小値は $-2\sqrt{2} \times 1 = -2\sqrt{2}$となります。$\theta = 45^\circ$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 0

(3) 0

(4) -2

(5) 2

(6) 45