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与えられた積分 $\int 5x^2 \, dx$ を計算します。

解析学積分定積分べき関数
2025/3/27

1. 問題の内容

与えられた積分 ∫5x2 dx\int 5x^2 \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定数倍の性質を利用して、積分記号の外に定数5を出します。
∫5x2 dx=5∫x2 dx\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx
次に、べき関数の積分公式 ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C （ただし、n≠−1n \neq -1）を用います。
この場合、n=2n=2なので、
∫x2 dx=x2+12+1+C=x33+C\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C
したがって、
5∫x2 dx=5(x33+C)=5x33+5C5 \int x^2 \, dx = 5 \left( \frac{x^3}{3} + C \right) = \frac{5x^3}{3} + 5C
5C5Cも定数なので、C′C'と書き換えます。

3. 最終的な答え

5x33+C′\frac{5x^3}{3} + C'

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