与えられた積分 $\int 5x^2 \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int 5x^2 \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定数倍の性質を利用して、積分記号の外に定数5を出します。

$\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx$

次に、べき関数の積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし、$n \neq -1$）を用います。

この場合、$n=2$なので、

$\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$

したがって、

$5 \int x^2 \, dx = 5 \left( \frac{x^3}{3} + C \right) = \frac{5x^3}{3} + 5C$

$5C$も定数なので、$C'$と書き換えます。

3. 最終的な答え

$\frac{5x^3}{3} + C'$