$0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ のとき、次の方程式を解きなさい： $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$ 答えは小さい順に2つ $\theta = $ (1)°，(2)° で答える。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ のとき、次の方程式を解きなさい：

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$

答えは小さい順に2つ $\theta =$ (1)°，(2)° で答える。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$ を合成関数の形に変形します。

左辺を $R \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形するために、 $R$ と $\alpha$ を求めます。

$R \sin(\theta + \alpha) = R(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (R \cos \alpha) \sin \theta + (R \sin \alpha) \cos \theta$

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = (R \cos \alpha) \sin \theta + (R \sin \alpha) \cos \theta$ と比較すると、

$R \cos \alpha = 1$

$R \sin \alpha = \sqrt{3}$

したがって、

$R^2 = (R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$R = 2$ （ただし、$R > 0$）

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

となる $\alpha$ は $\alpha = 60^\circ$

したがって、与えられた方程式は次のように書き換えられます。

$2 \sin(\theta + 60^\circ) = -1$

$\sin(\theta + 60^\circ) = -\frac{1}{2}$

ここで、$0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ なので、$60^\circ \leq \theta + 60^\circ < 420^\circ$ です。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ は、第3象限と第4象限にあります。

$x = 210^\circ$ または $x = 330^\circ$

$\theta + 60^\circ = 210^\circ$ のとき、$\theta = 210^\circ - 60^\circ = 150^\circ$

$\theta + 60^\circ = 330^\circ$ のとき、$\theta = 330^\circ - 60^\circ = 270^\circ$

したがって、方程式の解は $\theta = 150^\circ$ と $\theta = 270^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) 150

(2) 270