$\cos 3x + \cos 5x$ を余弦の積の形で表しなさい。つまり、$\cos 3x + \cos 5x = 2 \cos (a) \cos (b)$ における $a$ と $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos 3x + \cos 5x$ を余弦の積の形で表しなさい。つまり、$\cos 3x + \cos 5x = 2 \cos (a) \cos (b)$ における $a$ と $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

和積の公式を利用します。$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用います。

$A = 3x$、 $B = 5x$ とすると、

$2 \cos \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{3x - 5x}{2} = 2 \cos \frac{8x}{2} \cos \frac{-2x}{2} = 2 \cos 4x \cos (-x)$

$\cos (-x) = \cos x$ なので、

$2 \cos 4x \cos x$ となります。

したがって、$a = 4x$、$b = x$ です。

3. 最終的な答え

$a = 4x$

$b = x$