$(1+x+x^2)^{10}$ の $x^{16}$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(1+x+x^2)^{10}$ の $x^{16}$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$(1+x+x^2)^{10}$ を多項定理を使って展開します。

多項定理より、

$(1+x+x^2)^{10} = \sum_{a+b+c=10} \frac{10!}{a!b!c!} 1^a x^b (x^2)^c = \sum_{a+b+c=10} \frac{10!}{a!b!c!} x^{b+2c}$

となります。ここで、$a, b, c$ は非負の整数です。

$x^{16}$ の係数を求めたいので、$b+2c = 16$ となるような $a, b, c$ を探します。

$a+b+c=10$ であることを利用して、考えられる $a, b, c$ の組を求めます。

$b+2c = 16$ より $b = 16 - 2c$

これを $a+b+c=10$ に代入すると、

$a + 16 - 2c + c = 10$

$a - c = -6$

$a = c - 6$

$a, b, c$ は非負の整数なので、$c \ge 6$ です。また、$a+b+c=10$ なので、$c \le 10$ です。

したがって、$c$ は $6, 7, 8, 9, 10$ のいずれかの値をとります。

それぞれの $c$ に対して、$a$ と $b$ の値を計算します。

* $c=6$ のとき、$a=0, b=16-2(6) = 4$

* $c=7$ のとき、$a=1, b=16-2(7) = 2$

* $c=8$ のとき、$a=2, b=16-2(8) = 0$

* $c=9$ のとき、$a=3, b=16-2(9) = -2$ (不適)

* $c=10$ のとき、$a=4, b=16-2(10) = -4$ (不適)

よって、$(a, b, c) = (0, 4, 6), (1, 2, 7), (2, 0, 8)$ の3通りが考えられます。

それぞれの係数を計算します。

* $(a, b, c) = (0, 4, 6)$ のとき、$\frac{10!}{0!4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

* $(a, b, c) = (1, 2, 7)$ のとき、$\frac{10!}{1!2!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 10 \cdot 9 \cdot 4 = 360$

* $(a, b, c) = (2, 0, 8)$ のとき、$\frac{10!}{2!0!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9 = 45$

したがって、$x^{16}$ の係数は、これらの係数の和になります。

$210 + 360 + 45 = 615$

3. 最終的な答え

615