与えられた積分 $\int (-8x^4) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (-8x^4) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分 $\int (-8x^4) \, dx$ を計算します。

まず、積分の線形性より、定数 -8 を積分の外に出すことができます。

$$\int (-8x^4) \, dx = -8 \int x^4 \, dx$$

次に、べき乗の積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$ 、$C$ は積分定数) を用います。

この場合、$n=4$ なので、

$$\int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$$

したがって、

$$-8 \int x^4 \, dx = -8 \cdot \frac{x^5}{5} + C = -\frac{8}{5}x^5 + C$$

3. 最終的な答え

$$-\frac{8}{5}x^5 + C$$