$x = \sqrt{3} + 4$、 $y = \sqrt{3} - 4$ のとき、$xy - y^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + 4$、 $y = \sqrt{3} - 4$ のとき、$xy - y^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)$

これは和と差の積なので、

$xy = (\sqrt{3})^2 - 4^2 = 3 - 16 = -13$

次に、$y^2$ を計算します。

$y^2 = (\sqrt{3} - 4)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 4^2 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 = 19 - 8\sqrt{3}$

したがって、$xy - y^2 = -13 - (19 - 8\sqrt{3}) = -13 - 19 + 8\sqrt{3} = -32 + 8\sqrt{3} = 8\sqrt{3} - 32$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3} - 32$