与えられた多項式の不定積分を求めます。具体的には、$\int (4x^3 - 3x^2 + 4x - 5) \, dx$を計算します。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求めます。具体的には、$\int (4x^3 - 3x^2 + 4x - 5) \, dx$を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、各項ごとに積分を行います。

- $x^n$の積分は$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (ただし、$n \neq -1$)

- 定数倍の積分は、定数を積分の外に出すことができる

したがって、各項を積分すると以下のようになります。

$\int 4x^3 \, dx = 4 \int x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$

$\int -3x^2 \, dx = -3 \int x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$

$\int 4x \, dx = 4 \int x \, dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

$\int -5 \, dx = -5 \int 1 \, dx = -5x$

これらの結果を足し合わせ、積分定数$C$を加えます。

3. 最終的な答え

$\int (4x^3 - 3x^2 + 4x - 5) \, dx = x^4 - x^3 + 2x^2 - 5x + C$