(1) 整式 $P(x)$ が1次式 $ax+b$ ($a \neq 0$) で割り切れる（$P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつ）ための必要十分条件が $P(-\frac{b}{a}) = 0$ であることを示す問題です。 (2) 3次方程式 $12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x)$ が1次式 $ax+b$ ($a \neq 0$) で割り切れる（$P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつ）ための必要十分条件が $P(-\frac{b}{a}) = 0$ であることを示す問題です。

(2) 3次方程式 $12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を示す。

整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った時の商を $Q(x)$、余りを $R$ とすると、

$P(x) = (ax+b)Q(x) + R$

$P(-\frac{b}{a}) = (a(-\frac{b}{a}) + b)Q(-\frac{b}{a}) + R = (-b+b)Q(-\frac{b}{a}) + R = R$

$P(x)$ が $ax+b$ で割り切れるとき、$R=0$ であるから、$P(-\frac{b}{a}) = 0$ となります。

逆に、$P(-\frac{b}{a}) = 0$ のとき、$R=0$ となるので、$P(x)$ は $ax+b$ で割り切れることになります。

したがって、$P(x)$ が $ax+b$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(-\frac{b}{a}) = 0$ であることが示されました。

(2) 3次方程式 $12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。

まず、因数定理を利用して解を求めます。

$P(x) = 12x^3 + 4x^2 - 3x - 1$ とおくと、

$P(\frac{1}{2}) = 12(\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) - 3(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{3}{2} + 1 - \frac{3}{2} - 1 = 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}$ はこの方程式の解であり、$2x-1$ は $P(x)$ の因数です。

$P(x)$ を $2x-1$ で割ると、

$12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = (2x-1)(6x^2 + 5x + 1) = (2x-1)(2x+1)(3x+1)$

したがって、$(2x-1)(2x+1)(3x+1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $P(-\frac{b}{a}) = 0$ であることが示された。

(2) $x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$