この問題は、演習書からの抜粋で、以下の3つの問題を解く必要があります。 (2) 関数 $y = \frac{1}{x^2}$ について、$x=3$ から $x = 3 + \Delta x$ までの平均変化率を求める。 (2) 関数 $g(t) = 1 - 2t$ について、$g'(-3)$ を求める。 (3) 関数 $f(x) = x^2$ について、$f'(3)$ を求める。

1. 問題の内容

この問題は、演習書からの抜粋で、以下の3つの問題を解く必要があります。

(2) 関数 $y = \frac{1}{x^2}$ について、$x=3$ から $x = 3 + \Delta x$ までの平均変化率を求める。

(2) 関数 $g(t) = 1 - 2t$ について、$g'(-3)$ を求める。

(3) 関数 $f(x) = x^2$ について、$f'(3)$ を求める。

2. 解き方の手順

(2) 平均変化率の計算

平均変化率は、$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ で計算されます。

この場合、$x_1 = 3$ 、$x_2 = 3 + \Delta x$ 、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ です。

$f(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$f(3 + \Delta x) = \frac{1}{(3 + \Delta x)^2}$

平均変化率 = $\frac{\frac{1}{(3 + \Delta x)^2} - \frac{1}{9}}{(3 + \Delta x) - 3}$

= $\frac{\frac{9 - (3 + \Delta x)^2}{9(3 + \Delta x)^2}}{\Delta x}$

= $\frac{9 - (9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2)}{9\Delta x(3 + \Delta x)^2}$

= $\frac{-6\Delta x - (\Delta x)^2}{9\Delta x(3 + \Delta x)^2}$

= $\frac{\Delta x(-6 - \Delta x)}{9\Delta x(3 + \Delta x)^2}$

= $\frac{-6 - \Delta x}{9(3 + \Delta x)^2}$

(2) 微分係数 $g'(-3)$ の計算

$g(t) = 1 - 2t$ を微分すると、$g'(t) = -2$

したがって、$g'(-3) = -2$

(3) 微分係数 $f'(3)$ の計算

$f(x) = x^2$ を微分すると、$f'(x) = 2x$

したがって、$f'(3) = 2 * 3 = 6$

3. 最終的な答え

(2) 平均変化率: $\frac{-6 - \Delta x}{9(3 + \Delta x)^2}$

(2) $g'(-3) = -2$

(3) $f'(3) = 6$