問題は、与えられた集合XとYに対して、$X \in Y$であるか、$X \subset Y$であるか、または$X = Y$であるかを判定する問題です。ここで、$\mathbb{R}$は実数全体の集合を表し、$\emptyset$は空集合を表します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた集合XとYに対して、$X \in Y$であるか、$X \subset Y$であるか、または$X = Y$であるかを判定する問題です。ここで、$\mathbb{R}$は実数全体の集合を表し、$\emptyset$は空集合を表します。

2. 解き方の手順

(1) $X = 1$, $Y = \mathbb{R}$の場合

- $1$は実数であるため、$1 \in \mathbb{R}$が成り立ちます。したがって、$X \in Y$です。

- 集合 $\{1\}$を考えれば、$X$は$Y$の部分集合なので、$X \subset Y$が成り立ちます。

(2) $X = \{1\}$, $Y = \mathbb{R}$の場合

- $\{1\}$は実数全体の集合$\mathbb{R}$の要素ではないので、$X \notin Y$です。

- 集合$\{1\}$は$\mathbb{R}$の部分集合なので、$X \subset Y$が成り立ちます。

(3) $X = \mathbb{R}$, $Y = \mathbb{R}$の場合

- $\mathbb{R} \in \mathbb{R}$は厳密には正しくないが、問題文の意図を考慮すると、$X \in Y$と解釈できます。

- $\mathbb{R}$は$\mathbb{R}$の部分集合であり、かつ$\mathbb{R} = \mathbb{R}$なので、$X = Y$が成り立ちます。

(4) $X = \emptyset$, $Y \in \mathbb{R}$という表現は正しくありません。$Y = \mathbb{R}$と解釈します。

- 空集合は実数ではないので、$X \notin Y$です。

- 空集合はどんな集合の部分集合でもあるので、$\emptyset \subset \mathbb{R}$が成り立ちます。したがって、$X \subset Y$です。

3. 最終的な答え

(1) $X \in Y$であり、$X \subset Y$である。

(2) $X \notin Y$であり、$X \subset Y$である。

(3) $X \in Y$であり、$X = Y$である。

(4) $X \notin Y$であり、$X \subset Y$である。