与えられた定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2 - 4x + 3}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2 - 4x + 3}$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ と因数分解できるので、

$\frac{1}{x^2 - 4x + 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(x-1)(x-3)$ をかけると

$1 = A(x-3) + B(x-1)$

となります。

$x=1$ を代入すると $1 = A(1-3) + B(1-1) = -2A$ より $A = -\frac{1}{2}$。

$x=3$ を代入すると $1 = A(3-3) + B(3-1) = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{x^2 - 4x + 3} = -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}$

となります。

次に、この部分分数分解を利用して積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2 - 4x + 3} = \int_{-1}^{0} \left( -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)} \right) dx$

$= -\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} \frac{1}{x-3} dx$

$= -\frac{1}{2} \left[ \ln|x-1| \right]_{-1}^{0} + \frac{1}{2} \left[ \ln|x-3| \right]_{-1}^{0}$

$= -\frac{1}{2} (\ln|0-1| - \ln|-1-1|) + \frac{1}{2} (\ln|0-3| - \ln|-1-3|)$

$= -\frac{1}{2} (\ln 1 - \ln 2) + \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 4)$

$= -\frac{1}{2} (0 - \ln 2) + \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 4)$

$= \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{1}{2} \ln 4$

$= \frac{1}{2} (\ln 2 + \ln 3 - \ln 4)$

$= \frac{1}{2} \ln \frac{2 \cdot 3}{4}$

$= \frac{1}{2} \ln \frac{6}{4} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$

$= \ln \sqrt{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$

または

$\ln \sqrt{\frac{3}{2}}$