12冊の異なる本を、3つの本棚A, B, Cにそれぞれ4冊ずつ分けて入れる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

12冊の異なる本を、3つの本棚A, B, Cにそれぞれ4冊ずつ分けて入れる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、12冊からAに入れる4冊を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_{12}C_4$ で表されます。

次に、残りの8冊からBに入れる4冊を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_8C_4$ で表されます。

最後に、残りの4冊はCに入れるので、これは $_4C_4 = 1$ 通りです。

これらの組み合わせを掛け合わせると、A, B, Cに4冊ずつ分ける場合の数が得られます。

しかし、A, B, Cは区別されないため、A, B, Cの入れ替えの数 (3! = 6) で割る必要があります。

計算してみましょう。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

$_4C_4 = 1$

したがって、A, B, Cに分ける場合の数は $495 \times 70 \times 1 = 34650$ となります。

しかし、A, B, Cの区別がないので、同じ分け方が3! = 6 通りずつ重複して数えられています。

したがって、求める場合の数は $\frac{34650}{3!} = \frac{34650}{6} = 5775$ です。

3. 最終的な答え

5775 通り