与えられた3つの図において、円の中心Oと円周上の点、接線などに関する情報から、$x$の値を求める問題です。

## 問題の解答

1. **問題の内容**

与えられた3つの図において、円の中心Oと円周上の点、接線などに関する情報から、$x$の値を求める問題です。

2. **解き方の手順**

(1)

円の半径は3なので、円の中心から弦までの距離は、$x$となります。

三角形は二等辺三角形で、弦の長さは2と4なので、弦の中点と円の中心を結んだ線分は弦に垂直になります。

弦の長さが4の三角形に着目して三平方の定理を使うと、

$x^2 + 2^2 = 3^2$

$x^2 + 4 = 9$

$x^2 = 5$

$x = \sqrt{5}$

$x > 0$ なので、$x = \sqrt{5}$

(2)

円の半径は$x$です。接線PTの長さは6です。円の中心Oから接点Tに線を引くと、PTに垂直になります。OPの長さは$x + 8$になります。三角形OPTで三平方の定理を使うと、

$x^2 + 6^2 = (x + 8)^2$

$x^2 + 36 = x^2 + 16x + 64$

$16x = -28$

$x = -28/16 = -7/4$

しかし、$x$は半径なので、$x>0$である必要があります。与えられた図が正しくない可能性があります。または問題の設定が間違っている可能性があります。

ここでは、$x$の値が存在しないとします。

(3)

この問題では、方べきの定理を利用します。

円の中心から円周上の点までの距離を半径とすると、半径は$x$です。

円外の一点から引かれた2本の直線について、

$4(4 + 1) = (x - 3)(x + 3)$

$4 \cdot 5 = x^2 - 9$

$20 = x^2 - 9$

$x^2 = 29$

$x = \sqrt{29}$

$x > 0$ なので、$x = \sqrt{29}$

3. **最終的な答え**

(1) $x = \sqrt{5}$

(2) 解なし

(3) $x = \sqrt{29}$