$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

数論無理数背理法数論
2025/6/9

1. 問題の内容

2\sqrt{2} が無理数であることを用いて、1+321 + 3\sqrt{2} が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。
1+321 + 3\sqrt{2} が有理数であると仮定します。
1+32=r1 + 3\sqrt{2} = rrrは有理数)とおきます。
この式を変形して 2\sqrt{2} を表します。
32=r13\sqrt{2} = r - 1
2=r13\sqrt{2} = \frac{r-1}{3}
rr は有理数であるから、r1r-1 も有理数です。
また、3 は有理数であるから、r13\frac{r-1}{3} も有理数です。
これは、2\sqrt{2} が無理数であることに矛盾します。
したがって、1+321 + 3\sqrt{2} は無理数です。

3. 最終的な答え

1+321 + 3\sqrt{2} は無理数である。

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