(1) 集合 $A = \emptyset$ に対して、$2^A$ と $\#2^A$ を求めよ。 (2) 集合 $A = \{1, 2, 3\}$ に対して、$2^A$ と $\#2^A$ を求めよ。 (3) 集合 $A$ の濃度が自然数 $n$ ならば、$\#2^A = 2^n$ であることを示せ。

1. 問題の内容

(1) 集合 $A = \emptyset$ に対して、$2^A$ と $\#2^A$ を求めよ。

(2) 集合 $A = \{1, 2, 3\}$ に対して、$2^A$ と $\#2^A$ を求めよ。

(3) 集合 $A$ の濃度が自然数 $n$ ならば、$\#2^A = 2^n$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

* $2^A$ は $A$ のベキ集合であり、$A$ の部分集合全体の集合である。

* $A = \emptyset$ のとき、$A$ の部分集合は $\emptyset$ のみである。

* したがって、$2^A = \{\emptyset\}$ である。

* $\#2^A$ は $2^A$ の要素の個数である。

* $2^A = \{\emptyset\}$ より、$\#2^A = 1$ である。

(2)

* $A = \{1, 2, 3\}$ のとき、$A$ の部分集合は $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{2, 3\}$, $\{1, 2, 3\}$ である。

* したがって、$2^A = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$ である。

* $\#2^A$ は $2^A$ の要素の個数である。

* $2^A$ の要素は8個なので、$\#2^A = 8$ である。

(3)

* 集合 $A$ の濃度が自然数 $n$ であるとき、$A$ の要素の個数は $n$ 個である。

* 集合 $A$ の部分集合の個数は $2^n$ 個である。これは組み合わせの考え方から導ける。

* したがって、$2^A$ の要素の個数は $2^n$ 個である。

* よって、$\#2^A = 2^n$ である。

3. 最終的な答え

(1) $2^A = \{\emptyset\}$, $\#2^A = 1$

(2) $2^A = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$, $\#2^A = 8$

(3) $\#2^A = 2^n$ (証明済み)