2つの2次不等式 $x^2 - 4x - 3 \leq 0$ (①) と $x^2 - ax - 2a^2 \leq 0$ (②) が与えられている。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) 不等式①の解を求める。 (2) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの2次不等式 $x^2 - 4x - 3 \leq 0$ (①) と $x^2 - ax - 2a^2 \leq 0$ (②) が与えられている。ただし、$a$ は正の定数である。

(1) 不等式①の解を求める。

(2) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式① $x^2 - 4x - 3 \leq 0$ の解を求める。

まず、$x^2 - 4x - 3 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

したがって、$x^2 - 4x - 3 \leq 0$ の解は、$2 - \sqrt{7} \leq x \leq 2 + \sqrt{7}$ となる。

(2) 不等式② $x^2 - ax - 2a^2 \leq 0$ を解く。

$x^2 - ax - 2a^2 = (x - 2a)(x + a) \leq 0$

$a > 0$ より、$-a \leq x \leq 2a$

不等式①の解 $2 - \sqrt{7} \leq x \leq 2 + \sqrt{7}$ が、不等式②の解 $-a \leq x \leq 2a$ に含まれるためには、

$-a \leq 2 - \sqrt{7}$ かつ $2 + \sqrt{7} \leq 2a$ が成立する必要がある。

$a \geq -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$ かつ $a \geq \frac{2 + \sqrt{7}}{2}$

$\sqrt{7} \approx 2.645$ なので、

$a \geq 2.645 - 2 = 0.645$ かつ $a \geq \frac{2 + 2.645}{2} = \frac{4.645}{2} = 2.3225$

$a$ は正の整数なので、条件を満たす最小の $a$ は3である。

3. 最終的な答え

(1) 不等式①の解は、$2 - \sqrt{7} \leq x \leq 2 + \sqrt{7}$ である。

(2) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値は3である。