$\log_9{x} - \frac{1}{2} \log_3{(x+2)} = \frac{1}{2}$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

$\log_9{x} - \frac{1}{2} \log_3{(x+2)} = \frac{1}{2}$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を3に統一します。$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$ より、与えられた方程式は以下のように書き換えられます。

$\frac{1}{2}\log_3{x} - \frac{1}{2}\log_3{(x+2)} = \frac{1}{2}$

両辺に2をかけると、

$\log_3{x} - \log_3{(x+2)} = 1$

対数の性質を用いて、

$\log_3{\frac{x}{x+2}} = 1$

この式を指数形式に変換すると、

$\frac{x}{x+2} = 3^1$

$\frac{x}{x+2} = 3$

両辺に$x+2$をかけると、

$x = 3(x+2)$

$x = 3x + 6$

$-2x = 6$

$x = -3$

ただし、対数の真数は正でなければならないため、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$ を満たす必要があります。$x = -3$ はこれらの条件を満たさないため、解ではありません。しかし、選択肢の中に $x=-3$ が含まれています。これは問題の設定が間違っているか、与えられた選択肢の中に正しい解がないことを示唆します。もし解が存在すると仮定して問題を解き進めると $x=-3$ となるが、これは不適解であるため、本来ならば「解なし」が正しい答えとなります。しかし、選択肢の中から選ぶ必要があるため、最も近いと考えられるものを選ぶことになります。

選択肢を一つずつ確認します。

1. $x = \frac{1}{2}$ のとき: $\log_9{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\log_3{(\frac{1}{2}+2)} = \log_9{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\log_3{\frac{5}{2}}$. この値は $\frac{1}{2}$ にはなりません。

2. $x = 1$ のとき: $\log_9{1} - \frac{1}{2}\log_3{(1+2)} = 0 - \frac{1}{2}\log_3{3} = -\frac{1}{2}$. これは $\frac{1}{2}$ にはなりません。

3. $x = 2$ のとき: $\log_9{2} - \frac{1}{2}\log_3{(2+2)} = \log_9{2} - \frac{1}{2}\log_3{4} = \log_9{2} - \log_3{2} = \frac{1}{2}\log_3{2} - \log_3{2} = -\frac{1}{2}\log_3{2}$. この値は $\frac{1}{2}$ にはなりません。

4. $x = -3$ のとき: これは対数の定義からありえません。

問題文または選択肢に誤りがあると考えられます。ただし、最も計算結果が近いのは$x=2$のときで、$-\frac{1}{2}\log_3{2}$です。

3. 最終的な答え

問題文に誤植がある可能性がありますが、選択肢から最も可能性の高いものを選ぶとすれば、3番の $x=2$ が最も近いです。しかし、これは厳密な意味での解ではありません。本来ならば解なしが正答ですが、選択肢から選ぶ必要があるので、3を選択します。

答え: 3