「KANAGAWA」の8文字について、以下の並べ方の数を求める。 (1) 1列に並べる場合の異なる並べ方 (2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方 (3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方 (4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方 (5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

1. 問題の内容

「KANAGAWA」の8文字について、以下の並べ方の数を求める。

(1) 1列に並べる場合の異なる並べ方

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

2. 解き方の手順

(1) 1列に並べる場合の異なる並べ方

「KANAGAWA」の8文字のうち、Aが3つ、Nが1つ、Gが1つ、Wが1つ、Kが1つである。したがって、異なる並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できる。

$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

両端にAを配置すると、残りの6文字は「KANGAWA」となる。この6文字のうち、Aが1つ、Nが1つ、Gが1つ、Wが1つ、Kが1つである。したがって、並べ方の総数は、

$\frac{6!}{1!} = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

まず、A以外の5文字（K, N, G, W）を並べる。並べ方は $5! = 120$ 通り。

次に、並べられた5文字の間に、Aを入れる場所を考える。5文字の間と両端の計6箇所にAを3つ入れる。これは、6箇所から3箇所を選ぶ組み合わせの問題であり、$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

したがって、Aが隣り合わない並べ方は $5! \times _6C_3 = 120 \times 20 = 2400$ 通り。

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

K, N, G, Wの順番は固定されている。まず、これらの4文字以外の4文字（A, A, A, その他）を並べる場所を考える。8文字の場所から4文字の場所を選ぶ組み合わせは$_8C_4$。そしてK, N, G, Wをその順番で配置する。残りの4つの場所にA, A, A, を並べる。これは $\frac{4!}{3!} = 4$

なので

$_8C_4 \times \frac{4!}{3!} = 70 \times 4 = 280$

残りの3つのAの位置を決定後K,N,G,Wの並び順は固定なので

$\frac{8!}{3!}=8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4=6720$

K,N,G,Wの並び方が固定なので、これを4!で割れば良い。

$\frac{6720}{4!} = \frac{6720}{24} = 280$

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

まず、3つのAを1つの塊として考える。すると、この塊と残りの5文字（K, N, G, W）を円形に並べることになる。これは6個のものを円形に並べる問題なので、$(6-1)! = 5! = 120$ 通り。

円順列なので

$(6-1)! = 5!$

$\frac{5!}{5}=4!=24$

5!=120通り

3. 最終的な答え

(1) 6720通り

(2) 720通り

(3) 2400通り

(4) 280通り

(5) 120通り