9人を指定された人数構成の組に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 9人をA, Bの2組に分ける。ただし、各組に1人以上入るものとする。 (2) 9人を4人、3人、2人の3組に分ける。 (3) 9人を3人ずつの3組に分ける。 (4) 9人を2人、2人、5人の3組に分ける。

1. 問題の内容

9人を指定された人数構成の組に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 9人をA, Bの2組に分ける。ただし、各組に1人以上入るものとする。

(2) 9人を4人、3人、2人の3組に分ける。

(3) 9人を3人ずつの3組に分ける。

(4) 9人を2人、2人、5人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 9人をA, Bの2組に分ける場合：

まず、9人の中からA組に入れる人を選ぶことを考えます。A組には1人以上9人未満の人を入れる必要があります。したがって、A組に入る人数は1人から8人まで考えられます。A組の人数が決定すると、残りの人は自動的にB組に入ります。

A組の人数が$k$人のとき、A組の選び方は$_{9}C_{k}$通りです。したがって、

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\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} = {}_{9}C_{1} + {}_{9}C_{2} + \cdots + {}_{9}C_{8}

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二項定理より、

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(1+1)^9 = \sum_{k=0}^{9} {}_{9}C_{k} = {}_{9}C_{0} + {}_{9}C_{1} + \cdots + {}_{9}C_{9} = 2^9

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したがって、

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{}_{9}C_{1} + {}_{9}C_{2} + \cdots + {}_{9}C_{8} = 2^9 - {}_{9}C_{0} - {}_{9}C_{9} = 2^9 - 1 - 1 = 512 - 2 = 510

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A, Bの区別がない場合は、2で割る必要がありますが、A, Bは区別するのでこれで良い。

(2) 9人を4人、3人、2人の3組に分ける場合：

まず、9人の中から4人を選びます。その選び方は$_{9}C_{4}$通りです。次に、残りの5人の中から3人を選びます。その選び方は$_{5}C_{3}$通りです。最後に、残りの2人は自動的に2人の組に入ります。したがって、分け方は

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{}_{9}C_{4} \times {}_{5}C_{3} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260

$$$$

(3) 9人を3人ずつの3組に分ける場合：

まず、9人の中から3人を選びます。その選び方は$_{9}C_{3}$通りです。次に、残りの6人の中から3人を選びます。その選び方は$_{6}C_{3}$通りです。最後に、残りの3人は自動的に3人の組に入ります。ただし、3つの組には区別がないため、3!で割る必要があります。したがって、分け方は

$$$$

\frac{{}_{9}C_{3} \times {}_{6}C_{3}}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!} = \frac{362880}{6^3 \times 6} = \frac{362880}{216 \times 6} = \frac{362880}{1296} = 280

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(4) 9人を2人、2人、5人の3組に分ける場合：

まず、9人の中から2人を選びます。その選び方は$_{9}C_{2}$通りです。次に、残りの7人の中から2人を選びます。その選び方は$_{7}C_{2}$通りです。最後に、残りの5人は自動的に5人の組に入ります。ただし、2人の組には区別がないため、2!で割る必要があります。したがって、分け方は

$$$$

\frac{{}_{9}C_{2} \times {}_{7}C_{2}}{2!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!}}{2!} = \frac{9!}{(2!)^2 \times 5! \times 2!} = \frac{9!}{4 \times 120 \times 2} = \frac{362880}{4 \times 240} = \frac{362880}{960} = 378

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3. 最終的な答え

(1) 510通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 378通り

修正

(2)

$\frac{9!}{4!3!2!} = 1260$

(3)

$\frac{9!}{3!3!3!3!} = 280$

(4)

$\frac{9!}{2!2!5!2!} = 378$

最終的な答え

(1) 510

(2) 1260

(3) 280

(4) 378

```python

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