9人を指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求める問題です。 (1) AとBの2組に分ける（各組に1人以上） (2) 4人、3人、2人の3組に分ける (3) 3人ずつの3組に分ける (4) 2人、2人、5人の3組に分ける

1. 問題の内容

9人を指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求める問題です。

(1) AとBの2組に分ける（各組に1人以上）

(2) 4人、3人、2人の3組に分ける

(3) 3人ずつの3組に分ける

(4) 2人、2人、5人の3組に分ける

2. 解き方の手順

(1) 9人をA, Bの2組に分ける場合、Aに入る人数を決めればBに入る人数も決まります。Aには1人以上、8人以下が入ることができます。Aに入る人数がk人の場合、その選び方は$_9C_k$通りです。したがって、求める場合の数は、

$\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k = {}_9C_1 + {}_9C_2 + {}_9C_3 + {}_9C_4 + {}_9C_5 + {}_9C_6 + {}_9C_7 + {}_9C_8$

二項定理より、

$\sum_{k=0}^{9} {}_9C_k = 2^9 = 512$

${}_9C_0 = 1, {}_9C_9 = 1$ なので、

$\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k = 2^9 - {}_9C_0 - {}_9C_9 = 512 - 1 - 1 = 510$

ただし、AとBの区別がない場合は、2で割る必要がありますが、この問題ではA,Bの区別があるので、このままで良いです。

(2) 9人から4人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残りの2人を選ぶ方法の数を求めます。

${}_9C_4 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$

(3) 9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人を選ぶ方法の数を求めます。ただし、3つの組は区別がないので、3!で割る必要があります。

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{84 \times 20}{6} = 280$

(4) 9人から2人を選び、次に残りの7人から2人を選び、最後に残りの5人を選ぶ方法の数を求めます。ただし、2人の組は区別がないので、2!で割る必要があります。

$\frac{{}_9C_2 \times {}_7C_2 \times {}_5C_5}{2!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{5!0!}}{2!} = \frac{9!}{2!2!5! \times 2!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{2 \times 2 \times 2} = 9 \times 2 \times 7 \times 3 = 378$

3. 最終的な答え

(1) 510通り

(2) 1260通り

(3) 280通り

(4) 378通り