(1) $\sqrt{5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - b^2 + 3a + 3b$ の値を求めよ。 (2) $\sqrt{n^2 + 33}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - b^2 + 3a + 3b$ の値を求めよ。

(2) $\sqrt{n^2 + 33}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{5}$ の整数部分 $a$ を求める。$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$a = 2$ である。

$\sqrt{5}$ の小数部分 $b$ は、$b = \sqrt{5} - a = \sqrt{5} - 2$ である。

$a^2 - b^2 + 3a + 3b$ に $a = 2$, $b = \sqrt{5} - 2$ を代入する。

\begin{align*}

a^2 - b^2 + 3a + 3b &= (a+b)(a-b) + 3(a+b) \\

&= (a+b)(a-b+3) \\

&= (2 + \sqrt{5} - 2)(2 - (\sqrt{5} - 2) + 3) \\

&= \sqrt{5} (2 - \sqrt{5} + 2 + 3) \\

&= \sqrt{5} (7 - \sqrt{5}) \\

&= 7\sqrt{5} - 5

\end{align*}

(2)

$\sqrt{n^2 + 33}$ が自然数となるような自然数 $n$ を求める。

$\sqrt{n^2 + 33} = m$ となる自然数 $m$ が存在すると仮定する。

両辺を2乗して $n^2 + 33 = m^2$

$m^2 - n^2 = 33$

$(m+n)(m-n) = 33$

$m+n$ と $m-n$ は整数である。また、$m+n > m-n$ であり、$m+n$ と $m-n$ は同じ偶奇である。（$m+n - (m-n) = 2n$ が偶数より）

33の約数は、1, 3, 11, 33

積が33になる整数の組み合わせは、

(33, 1), (11, 3)

$m+n = 33, m-n = 1$ のとき、

$2m = 34$ より $m = 17$, $n = 16$

$m+n = 11, m-n = 3$ のとき、

$2m = 14$ より $m = 7$, $n = 4$

したがって、$n = 4, 16$

3. 最終的な答え

(1) $7\sqrt{5} - 5$

(2) $n = 4, 16$