点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xと角yの大きさを求めよ。角Bは23度、角BOCは140度と与えられています。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xと角yの大きさを求めよ。角Bは23度、角BOCは140度と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、外心の性質より、OA=OB=OCです。

したがって、三角形OBCは二等辺三角形なので、角OBC = 角OCBとなります。

三角形OBCの内角の和は180度なので、

$140 + \angle OBC + \angle OCB = 180$

$2 \angle OCB = 40$

$\angle OCB = 20$

したがって、$y = \angle OCB = 20^{\circ}$ です。

次に、三角形OBAも二等辺三角形なので、角OAB = 角OBA = 23度です。

また、角AOBは、角BOCと角AOCを足して360度になることを利用します。

角AOC = 2 * 角ABC (外角の定理)

角ABC = 23 + 20 = 43

角AOC = 2 * 43 = 86

角AOB = 360 - 140 - 86 = 134

よって、三角形OABの内角の和は180度なので、

$23 + 23 + \angle AOB = 180$

角AOB = 180 - 46 = 134

三角形OABにおいて、角OBA = 23なので、角OAB = 23。

したがって、

$x + 23 + 23 + y + 20 = 180$　ではない

角AOB = 2Cから

$\angle AOC= 2 \angle ABC$

$\angle AOB = 2 \angle ACB$

$\angle BOC = 2 \angle BAC$

よって

$140 = 2x$

$x = 70$

また、$A+B+C = 180$

$70+23+y=180$

$93+y = 180$

$y = 87$

しかし、$∠BOC=140°$なので $∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC = \frac{140}{2} = 70°$

よって $x=70°$

$∠ABC=23°$

$∠BCA = 180° - 70° - 23° = 87°$

$∠BCO = y$

$∠OBC = ∠OCB$

$∠OBC = 23°$

$∠BAC = x = 70°$

$y = 87° - ∠BCO$

$2x+2y+2z = 360$

$\angle BOC + \angle AOC + \angle AOB=360°$

$140° + 2\angle ABC +2\angle BCA=360°$

$23 = B$

$C = y$

$2(23) + 2(y) = 220$

$46+2y=220$

$2y=174$

$y = 87°$

3. 最終的な答え

x = 70

y = 87