三角形ABCにおいて、点Pは辺BC上の点、点Oは線分AP上の点であり、$BP:PC=4:5$、$AO:OP=5:3$である。このとき、三角形OABと三角形OACの面積比を求める。つまり、$\triangle OAB : \triangle OAC = \text{オ} : \text{カ}$のオとカを求める問題である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pは辺BC上の点、点Oは線分AP上の点であり、$BP:PC=4:5$、$AO:OP=5:3$である。このとき、三角形OABと三角形OACの面積比を求める。つまり、$\triangle OAB : \triangle OAC = \text{オ} : \text{カ}$のオとカを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABP$と$\triangle ACP$の面積比を考える。これらの三角形は高さが共通（頂点Aから辺BCへの垂線）なので、面積比は底辺の比に等しい。したがって、

$\triangle ABP : \triangle ACP = BP : PC = 4:5$

次に、$\triangle OBP$と$\triangle OCP$の面積比を考える。これらの三角形も高さが共通（頂点Oから辺BCへの垂線）なので、面積比は底辺の比に等しい。したがって、

$\triangle OBP : \triangle OCP = BP : PC = 4:5$

ここで、$AP$を底辺とする $\triangle OAP$ について、$AO:OP=5:3$ がわかっているので、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積を $\triangle ABP$と$\triangle ACP$の面積を使って表すことを考える。

$\triangle ABP = \triangle AOB + \triangle OBP$

$\triangle ACP = \triangle AOC + \triangle OCP$

$\triangle AOB = \frac{AO}{AP}\triangle ABP = \frac{5}{8} \triangle ABP$

$\triangle AOC = \frac{AO}{AP}\triangle ACP = \frac{5}{8} \triangle ACP$

したがって、$\triangle OAB : \triangle OAC = \frac{5}{8} \triangle ABP : \frac{5}{8} \triangle ACP = \triangle ABP : \triangle ACP = 4:5$

3. 最終的な答え

$\triangle OAB : \triangle OAC = 4 : 5$