$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数であることを示してください。

1. 問題の内容

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数であることを示してください。

2. 解き方の手順

この問題は、対偶を証明することで解決します。

元の命題の対偶は、「$m, n$ がともに偶数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である」となります。

$m$ と $n$ がともに偶数であると仮定すると、$m = 2k$、$n = 2l$ (ここで $k, l$ は整数) と書けます。

このとき、

$m^2 = (2k)^2 = 4k^2$

$n^2 = (2l)^2 = 4l^2$

したがって、

$m^2 + n^2 = 4k^2 + 4l^2 = 4(k^2 + l^2)$

$k^2 + l^2$ は整数であるため、$4(k^2 + l^2)$ は4の倍数となり、したがって偶数です。

したがって、$m^2 + n^2$ が偶数であることが示されました。

対偶が真であることから、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である。