(1) 整式 $P(x)$ が1次式 $ax+b$ ($a \neq 0$) で割り切れる（すなわち、$P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつ）ための必要十分条件が $P(-\frac{b}{a}) = 0$ であることを示す。（因数定理） (2) 3次方程式 $12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x)$ が1次式 $ax+b$ ($a \neq 0$) で割り切れる（すなわち、$P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつ）ための必要十分条件が $P(-\frac{b}{a}) = 0$ であることを示す。（因数定理）

(2) 3次方程式 $12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理の証明：

$P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R$ とすると、

$P(x) = (ax+b)Q(x) + R$ と表せる。

$P(-\frac{b}{a}) = (a(-\frac{b}{a})+b)Q(-\frac{b}{a}) + R = (-b+b)Q(-\frac{b}{a}) + R = 0 \cdot Q(-\frac{b}{a}) + R = R$

$P(-\frac{b}{a}) = R$ である。

$P(x)$ が $ax+b$ で割り切れるとき、余りは $R=0$ であるから、$P(-\frac{b}{a}) = 0$ が成り立つ。

逆に、$P(-\frac{b}{a}) = 0$ のとき、R=0なので、$P(x) = (ax+b)Q(x)$ となり、$P(x)$ は $ax+b$ で割り切れる。

したがって、$P(x)$ が $ax+b$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(-\frac{b}{a}) = 0$ である。

(2) 3次方程式 $12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = 0$ を解く。

$P(x) = 12x^3 + 4x^2 - 3x - 1$ とする。

$P(\frac{1}{2}) = 12(\frac{1}{2})^3 + 4(\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{1}{2}) - 1 = 12(\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} + 1 - \frac{3}{2} - 1 = 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}$ は解の一つであり、$P(x)$ は $(x - \frac{1}{2})$ を因数に持つ。あるいは、$2x-1$ を因数に持つ。

実際に割り算を行うと、

$12x^3 + 4x^2 - 3x - 1 = (2x - 1)(6x^2 + 5x + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(3x + 1) = 0$

よって、$2x-1 = 0$ または $2x+1 = 0$ または $3x+1 = 0$ となる。

$x = \frac{1}{2}$ または $x = -\frac{1}{2}$ または $x = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 証明は上記参照

(2) $x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$