三角形ABCにおいて、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をDとする。 $\angle ACD = 45^\circ$, $\angle BAD = 30^\circ$, $AB = 8$cmである。 (1) $AD$と$AC$の長さを求めよ。 (2) 三角形$ABC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をDとする。

$\angle ACD = 45^\circ$, $\angle BAD = 30^\circ$, $AB = 8$cmである。

(1) $AD$と$AC$の長さを求めよ。

(2) 三角形$ABC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AD$と$AC$の長さを求める。

三角形$ABD$は、$\angle ADB=90^\circ$, $\angle BAD=30^\circ$, $AB = 8$cmの直角三角形である。

三角比より、

$AD = AB \cos 30^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ cm

$BD = AB \sin 30^\circ = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ cm

三角形$ACD$は、$\angle ADC=90^\circ$, $\angle ACD=45^\circ$の直角三角形である。

よって、$\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ なので、三角形$ACD$は直角二等辺三角形である。

したがって、$AD = CD$ となる。

$AD = 4\sqrt{3}$cm なので、$CD = 4\sqrt{3}$ cm

また、$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2(4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 \times 16 \times 3} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$ cm

(2) 三角形$ABC$の面積を求める。

$BC = BD + CD = 4 + 4\sqrt{3}$ cm

したがって、三角形$ABC$の面積は、

$\frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times (4 + 4\sqrt{3}) \times 4\sqrt{3} = 2(4 + 4\sqrt{3})\sqrt{3} = 8\sqrt{3} + 8(3) = 24 + 8\sqrt{3}$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) $AD = 4\sqrt{3}$ cm, $AC = 4\sqrt{6}$ cm

(2) 三角形$ABC$の面積は、$24 + 8\sqrt{3}$ cm$^2$