与えられた不定積分を計算します。問題は以下の通りです。 $\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。問題は以下の通りです。

$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt$

2. 解き方の手順

積分は線形性を持つので、各項ごとに積分を計算できます。

まず、$-5t^2$ の積分を計算します。

$\int -5t^2 dt = -5 \int t^2 dt = -5 \cdot \frac{t^3}{3} = -\frac{5}{3}t^3$

次に、$-2t$ の積分を計算します。

$\int -2t dt = -2 \int t dt = -2 \cdot \frac{t^2}{2} = -t^2$

最後に、$3x^2$ の積分を計算します。ここで、$x$ は $t$ とは独立な変数なので、定数として扱います。

$\int 3x^2 dt = 3x^2 \int dt = 3x^2 t$

これらの積分を足し合わせると、

$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt = -\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2 t + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2t + C$