質量 $M$ の物体Aと質量 $m$ の物体Bが、定滑車を通して繋がれている。物体Bは地面に接しており、物体Aは空中に静止している。$M > m$ であり、重力加速度の大きさを $g$ とする。物体Aを静かに離したとき、物体Aの加速度の大きさと、Aをつるしている糸の張力の大きさを求める問題。

1. 問題の内容

質量 $M$ の物体Aと質量 $m$ の物体Bが、定滑車を通して繋がれている。物体Bは地面に接しており、物体Aは空中に静止している。$M > m$ であり、重力加速度の大きさを $g$ とする。物体Aを静かに離したとき、物体Aの加速度の大きさと、Aをつるしている糸の張力の大きさを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、物体AとBそれぞれについて、働く力を書き出す。物体Aには下向きに重力 $Mg$、上向きに糸の張力 $T$ が働く。物体Bには上向きに糸の張力 $T$、下向きに重力 $mg$、上向きに垂直抗力 $N$ が働く。

物体Aについて、下向きを正として運動方程式を立てる。

$Ma = Mg - T$ (1)

物体Bについて、物体Bは地面から離れないので、加速度は0である。したがって、力のつり合いの式を立てる。

$N + T = mg$ (2)

ここで、物体Aが動き出すためには、物体Aの重力 $Mg$ が物体Bの重力 $mg$ よりも大きくなければならない。物体Bが地面に接している状態を維持するためには、 $Mg > T$ が必要である。物体Aが動き始めると、物体Bは地面に押し付けられ、垂直抗力 $N$ が働く。

物体Aが動き出す瞬間、Aの加速度を$a$とする。糸は滑車を介してつながっているので、AとBに働く張力は等しい。

物体Bについて、地面からの垂直抗力 $N$ が働いているため、糸の張力 $T$ は $mg$ よりも小さくなる。

物体Aと物体Bを一体として考えると、加速度 $a$ で運動する系の運動方程式は、

$Ma = Mg - T$ （Aの運動方程式）

$0 = T + N - mg$　（Bの力のつり合い）

となる。

$N \ge 0$ より、$T \le mg$。また、$M > m$ より、$Mg > mg$ であるから、$Mg > T$ は成り立つ。

ここで、物体Bが地面から離れない条件から、

$N = mg - T \ge 0$ (3)

である。

物体Aの加速度を求めるために、(1)式を変形する。

$T = Mg - Ma$ (4)

(4)式を(3)式に代入する。

$mg - (Mg - Ma) \ge 0$

$Ma \ge Mg - mg$

$a \ge g - \frac{m}{M}g$

物体Bが地面から離れないためには、式(2)より、$N = mg - T \ge 0$を満たす必要がある。$T = mg$の時、$N=0$となり、Bは地面から離れる直前となる。

したがって、$mg = Mg - Ma$

$Ma = (M - m)g$

$a = \frac{M-m}{M}g$

次に、糸の張力 $T$ を求める。

$T = Mg - Ma = Mg - M \frac{M-m}{M}g = Mg - (M-m)g = Mg - Mg + mg = mg$

3. 最終的な答え

Aの加速度の大きさ: $\frac{M-m}{M}g$

Aをつるしている糸の張力の大きさ: $mg$