同一材料(ヤング率 $E = 200 \, \text{GPa}$)でできた二段棒に、引張荷重 $P = 20 \, \text{kN}$ が静的に作用している（両端は自由）。区間1の長さは $L_1 = 300 \, \text{mm}$、断面積は $A_1 = 200 \, \text{mm}^2$。区間2の長さは $L_2 = 200 \, \text{mm}$、断面積は $A_2 = 100 \, \text{mm}^2$。 1. 区間1に生じる軸応力 $\sigma_1$ を求める。

1. 問題の内容

同一材料(ヤング率 $E = 200 \, \text{GPa}$)でできた二段棒に、引張荷重 $P = 20 \, \text{kN}$ が静的に作用している（両端は自由）。区間1の長さは $L_1 = 300 \, \text{mm}$、断面積は $A_1 = 200 \, \text{mm}^2$。区間2の長さは $L_2 = 200 \, \text{mm}$、断面積は $A_2 = 100 \, \text{mm}^2$。

1. 区間1に生じる軸応力 $\sigma_1$ を求める。

2. 区間2に生じる軸応力 $\sigma_2$ を求める。

3. 棒全体の伸び $\delta$ を求める。

2. 解き方の手順

1. 軸応力 $\sigma$ は、荷重 $P$ を断面積 $A$ で割ったものです。

区間1の軸応力 $\sigma_1$ は、

$$\sigma_1 = \frac{P}{A_1}$$

区間2の軸応力 $\sigma_2$ は、

$$\sigma_2 = \frac{P}{A_2}$$

$P = 20 \, \text{kN} = 20 \times 10^3 \, \text{N}$、 $A_1 = 200 \, \text{mm}^2 = 200 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$、 $A_2 = 100 \, \text{mm}^2 = 100 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$ なので、

$$\sigma_1 = \frac{20 \times 10^3 \, \text{N}}{200 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} = 100 \times 10^6 \, \text{Pa} = 100 \, \text{MPa}$$

$$\sigma_2 = \frac{20 \times 10^3 \, \text{N}}{100 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} = 200 \times 10^6 \, \text{Pa} = 200 \, \text{MPa}$$

2. 棒の伸び $\delta$ は、各区間の伸び $\delta_1$ と $\delta_2$ の和です。

各区間の伸びは、$\delta = \frac{PL}{AE}$ で求められます。

区間1の伸び $\delta_1$ は、

$$\delta_1 = \frac{PL_1}{A_1 E}$$

区間2の伸び $\delta_2$ は、

$$\delta_2 = \frac{PL_2}{A_2 E}$$

$L_1 = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m}$、 $L_2 = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m}$、 $E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}$ なので、

$$\delta_1 = \frac{20 \times 10^3 \, \text{N} \times 0.3 \, \text{m}}{200 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 200 \times 10^9 \, \text{Pa}} = \frac{6 \times 10^3}{40 \times 10^6} \, \text{m} = 0.15 \times 10^{-3} \, \text{m} = 0.15 \, \text{mm}$$

$$\delta_2 = \frac{20 \times 10^3 \, \text{N} \times 0.2 \, \text{m}}{100 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 200 \times 10^9 \, \text{Pa}} = \frac{4 \times 10^3}{20 \times 10^6} \, \text{m} = 0.2 \times 10^{-3} \, \text{m} = 0.2 \, \text{mm}$$

棒全体の伸び $\delta$ は、

$$\delta = \delta_1 + \delta_2 = 0.15 \, \text{mm} + 0.2 \, \text{mm} = 0.35 \, \text{mm}$$

3. 最終的な答え

1. 区間1に生じる軸応力 $\sigma_1 = 100 \, \text{MPa}$

2. 区間2に生じる軸応力 $\sigma_2 = 200 \, \text{MPa}$

3. 棒全体の伸び $\delta = 0.35 \, \text{mm}$