(2)の問題は、(1)の振幅変調波を参考に、$V_c = 2V$, 変調指数$m = 0.2$, 搬送波周波数$1 MHz$, 情報周波数$500 Hz$ のときの周波数スペクトラムを、角周波数ではなく周波数で書く問題です。

1. 問題の内容

(2)の問題は、(1)の振幅変調波を参考に、$V_c = 2V$, 変調指数$m = 0.2$, 搬送波周波数$1 MHz$, 情報周波数$500 Hz$ のときの周波数スペクトラムを、角周波数ではなく周波数で書く問題です。

2. 解き方の手順

まず、振幅変調(AM)の式は以下の通りです。

$f_{AM}(t) = V_c\{1 + m\sin(\omega_m t)\}\sin(\omega_c t)$

これを周波数領域に変換すると、以下のようになります。

$F[f_{AM}(t)] = -j\pi V_c\{\delta(\omega - \omega_c) - \delta(\omega + \omega_c)\} - \frac{\pi}{2} mV_c\{\delta(\omega - \omega_c - \omega_m) + \delta(\omega + \omega_c + \omega_m)\} + \frac{\pi}{2}mV_c\{\delta(\omega - \omega_c + \omega_m) + \delta(\omega + \omega_c - \omega_m)\}$

ここで、

- $V_c = 2V$

- $m = 0.2$

- 搬送波周波数 $f_c = 1 MHz$ ($\omega_c = 2\pi f_c$)

- 情報周波数 $f_m = 500 Hz = 0.5 kHz$ ($\omega_m = 2\pi f_m$)

与えられたパラメータを代入すると、振幅は以下のようになります。

- 搬送波成分: $\pi V_c = 2\pi$

- 上側帯波/下側帯波成分: $\frac{\pi}{2} m V_c = \frac{\pi}{2} \times 0.2 \times 2 = 0.2\pi$

したがって、周波数スペクトラムは以下の周波数成分に現れます。

- $f = \pm f_c = \pm 1000 kHz$

- $f = \pm (f_c + f_m) = \pm (1000 + 0.5) kHz = \pm 1000.5 kHz$

- $f = \pm (f_c - f_m) = \pm (1000 - 0.5) kHz = \pm 999.5 kHz$

これらの周波数成分において、以下の振幅を持ちます。

- $\pm 1000 kHz$ には振幅 $\pi$ を持つデルタ関数が存在します。ただし、負の周波数成分については位相が反転します。

- $\pm 999.5 kHz$ と $\pm 1000.5 kHz$ には振幅 $0.2\pi$ を持つデルタ関数が存在します。同様に、負の周波数成分については位相が反転します。

3. 最終的な答え

周波数スペクトラムは以下のようになります。

- -1000.5 kHz: 振幅 -j0.2π

- -1000 kHz: 振幅 -jπ

- -999.5 kHz: 振幅 -j0.2π

- 999.5 kHz: 振幅 j0.2π

- 1000 kHz: 振幅 jπ

- 1000.5 kHz: 振幅 j0.2π