200万円の投資信託が年利6%で成長するとき、投資額が400万円に達するまでに必要な年数 $x$ を求める。

## 問題7

1. 問題の内容

200万円の投資信託が年利6%で成長するとき、投資額が400万円に達するまでに必要な年数 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

投資額は毎年6%ずつ増えるので、$x$年後の投資額は $200(1 + 0.06)^x$ 万円と表せる。

これが400万円になるので、次の方程式を解く。

$200(1.06)^x = 400$

両辺を200で割ると、

$(1.06)^x = 2$

両辺の対数をとると、

$x \log(1.06) = \log(2)$

$x = \frac{\log(2)}{\log(1.06)}$

$x \approx \frac{0.3010}{0.0253} \approx 11.897 \approx 11.9$

3. 最終的な答え

$x \approx 11.9$ 年

## 問題8

1. 問題の内容

化学反応の速度に関する問題。温度が0度のとき、反応時間は60分。温度が10度上昇するごとに反応時間が半分になる。反応時間が5分になるためには、温度を何度に設定する必要があるか。

2. 解き方の手順

温度が10度上昇するごとに反応時間が半分になるということは、反応時間は指数関数的に減少する。

0度の時の反応時間は60分なので、反応時間が5分になるまでに何回反応時間が半分になるかを考える。

60分 / 5分 = 12

反応時間が半分になる回数を $n$ とすると、

$60 \times (\frac{1}{2})^n = 5$

$(\frac{1}{2})^n = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

$2^n = 12$

$n \log(2) = \log(12)$

$n = \frac{\log(12)}{\log(2)} \approx \frac{1.079}{0.301} \approx 3.58$

反応時間が半分になる回数が約3.58回なので、温度は$10 \times 3.58 \approx 35.8$度上昇する必要がある。

したがって、必要な温度は約35.8度となる。

3. 最終的な答え

約35.8度